Zadanie 19 Granice niewłaściwe i asymptoty wykresu — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — dzielimy przez $x$:

$$\frac{x^2}{x-1}=\frac{x}{1-\frac{1}{x}}$$

Krok 2 — granica. Licznik $x\to+\infty$, mianownik $\to1$:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x-1}=+\infty$$

Krok 3 — wniosek. Skoro granica jest niewłaściwa ($+\infty$), a nie skończona, funkcja nie ma asymptoty poziomej.

Dlaczego tak. Stopień licznika ($2$) jest większy od stopnia mianownika ($1$) — funkcja rośnie jak wielomian. Zamiast asymptoty poziomej ma asymptotę ukośną.

Odpowiedź: granica $+\infty$; brak asymptoty poziomej, bo stopień licznika przewyższa stopień mianownika.