Zadanie 18 Pierwiastki wymierne i wykres wielomianu — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$:

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$$

Krok 2 — wracamy do $x$:

$$\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)$$

Krok 3 — rozkładamy obie różnice kwadratów:

$$(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

Krok 4 — pierwiastki. Cztery różne, każdy krotności $1$:

$$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$$

Wniosek. Wielomian stopnia $4$ ma tu cztery pojedyncze pierwiastki — wykres przecina oś w czterech punktach.

Odpowiedź: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$; pierwiastki $-2,-1,1,2$ (krotność $1$).