Krok 1 — założenie. Funkcja $f$ ma okres $T$, czyli dla każdego $x$:
$$f(x+T)=f(x)$$
Krok 2 — stosujemy własność dwukrotnie. Zastępujemy $x$ przez $x+T$:
$$f(x+2T)=f\bigl((x+T)+T\bigr)=f(x+T)$$
Krok 3 — łączymy z założeniem:
$$f(x+2T)=f(x+T)=f(x) \qquad ∎$$
Zatem $2T$ też jest okresem funkcji.
Uogólnienie. Tym samym rozumowaniem każda dodatnia wielokrotność $kT$ ($k\in\mathbb{N}$) jest okresem. Dlatego mówimy o najmniejszym okresie dodatnim — to on jednoznacznie charakteryzuje funkcję.
Wniosek: jeśli $T$ jest okresem, to $2T$ (i każde $kT$) również — co należało wykazać.