Zadanie 20 Przekroje brył oraz bryły wpisane i opisane — zbiór zadań (klasa 4 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — co jest bokiem przekroju. Każdy bok trójkąta łączy dwa wierzchołki sąsiadujące z wybranym, a więc jest przekątną ściany sześcianu:

$$\text{bok}=a\sqrt2$$

Krok 2 — dlaczego równoboczny. Wszystkie trzy boki są przekątnymi ścian tego samego sześcianu, więc mają identyczną długość. Trójkąt o trzech równych bokach jest równoboczny. ∎

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{\left(a\sqrt2\right)^2\sqrt3}{4}=\frac{2a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{2}$$

Sprawdzenie dla $a=2$: bok wynosi $2\sqrt2\approx2{,}83$, a pole $\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3\approx3{,}46$. Dla porównania pole ściany to $4$ — przekrój jest mniejszy, co zgadza się z intuicją, bo odcina tylko narożnik.

Odpowiedź: trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt2$ i polu $\frac{a^2\sqrt3}{2}$.