Zadanie 19 Przystawanie trójkątów i dowody — zbiór zadań (klasa 8 SP) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — konstrukcja. W czworokącie $ABCD$ prowadzimy przekątną $AC$. Dzieli ona czworokąt na dwa trójkąty: $ABC$ oraz $ACD$.

Krok 2 — suma kątów w każdym trójkącie:

$$180^\circ+180^\circ=360^\circ$$

Krok 3 — kluczowa obserwacja. Kąty obu trójkątów składają się dokładnie na kąty czworokąta — przy wierzchołkach $B$ i $D$ mamy kąty w całości, a przy $A$ i $C$ przekątna dzieli kąty czworokąta na dwie części, które sumują się z powrotem do całości.

Wniosek: suma kątów czworokąta wynosi $360^\circ$. ∎

Uogólnienie. Tym samym sposobem $n$-kąt dzielimy na $n-2$ trójkąty, co daje wzór $(n-2)\cdot180^\circ$.