Zadanie 19 Ekstrema i optymalizacja — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — wymiary pudełka. Po wycięciu rogów podstawa ma bok $12-2x$, a wysokość wynosi $x$:

$$V(x)=x(12-2x)^2,\qquad 0\lt x\lt 6$$

Krok 2 — rozwijamy:

$$V(x)=x(144-48x+4x^2)=4x^3-48x^2+144x$$

Krok 3 — pochodna:

$$V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$$

Krok 4 — wybór pierwiastka. Punkt $x=6$ odpada (poza dziedziną, podstawa miałaby bok zero). W $x=2$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$ — maksimum.

Krok 5 — objętość:

$$V(2)=2\cdot8^2=128\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $x=2$ cm, objętość $128$ cm$^3$.