Krok 1 — warunek na objętość:
$$\pi r^2 H=16\pi \quad\Rightarrow\quad H=\frac{16}{r^2}$$
Krok 2 — funkcja celu. Pole całkowite walca to dwie podstawy i powierzchnia boczna:
$$P(r)=2\pi r^2+2\pi r H=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{16}{r^2}=2\pi r^2+\frac{32\pi}{r},\qquad r>0$$
Krok 3 — pochodna:
$$P'(r)=4\pi r-\frac{32\pi}{r^2}$$
Krok 4 — punkt krytyczny. Mnożymy przez $\frac{r^2}{4\pi}>0$:
$$r^3-8=0 \quad\Rightarrow\quad r=2$$
Krok 5 — sprawdzenie znaku. Dla $r\lt 2$ pochodna jest ujemna, dla $r>2$ dodatnia — minimum.
Krok 6 — wysokość:
$$H=\frac{16}{4}=4\ \text{cm}=2r$$
Warto zapamiętać: optymalna puszka ma wysokość równą średnicy.
Odpowiedź: $r=2$ cm, $H=4$ cm, pole $24\pi$ cm$^2$.