Zadanie 39 Zbiór zadań maturalnych - CKE (Formuła 2023) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy zwrócić uwagę, że boki ośmiokąta (w tym ten, który jest przy naszym kącie \(\alpha\)) są cięciwami okręgu, który jest opisany na tej figurze. Z twierdzenia o mierze kąta między styczną a cięciwą wynika, że miara naszego kąta \(\alpha\) jest równa mierze kąta wpisanego, który oparty byłby na łuku \(AB\). Dobrze to będzie widać na poniższym rysunku:


Na rysunku pomocniczym pojawił się też kąt \(\beta\). który jest kątem środkowym opartym na łuku \(AB\). Zgodnie z własnościami kątów wpisanych i środkowych, miara tego jest dwa razy większa od miary poszukiwanego kąta \(\alpha\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\beta\).
Miara kąta środkowego \(\beta\) stanowi \(\frac{1}{8}\) kąta pełnego (ponieważ nasza figura jest ośmiokątem foremnym), zatem:
$$\beta=\frac{360°}{8}$$ $$\beta=45°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Kąt \(\alpha\) stanowi połowę miary kąta \(\beta\), zatem:
$$\alpha=\frac{1}{2}\cdot45°$$ $$\alpha=22,5°$$