📄 Treść zadania
Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)
A
ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste
B
ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste
C
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste
D
nie ma rozwiązań
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. W związku z tym:
$$2x+1\neq0$$
$$2x\neq-1$$
$$x\neq-\frac{1}{2}$$
To oznacza, że dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-\frac{1}{2}\), co matematycznie możemy zapisać jako \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$x-\frac{1}{2x+1}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+1)$$
$$x\cdot(2x+1)-1=0$$
$$2x^2+x-1=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy skorzystać z metody delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=1,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Żadne z otrzymanych rozwiązań nie wyklucza się z dziedziną, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{1}{2}\).