Zadanie 9 Zbiór zadań maturalnych - CKE (Formuła 2023) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Możemy oczywiście wymnożyć podane nawiasy i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:
$$(1-x\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)=x\sqrt{2}-1-2x^2+x\sqrt{2}=2x^2+2\sqrt{2}x-1$$

Ewentualnie moglibyśmy dostrzec, że to zadanie opiera się na wzorach skróconego mnożenia, a konkretnie chodzi tu o wzór \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\). W naszym przypadku \(a=x\sqrt{2}\) oraz \(b=1\), więc:
$$2x^2-1=(x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1)$$

Otrzymany wynik nie jest tożsamy z podanym wyrażeniem, więc zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), otrzymamy:
$$2^3+3\cdot2^2\cdot x+3\cdot2\cdot x^2+x^3-x^3-6x^2-12x=$$ $$=8+12x+6x^2-6x^2-12x=8$$

Zdanie jest więc prawdą.