📄 Treść zadania
Liczby rzeczywiste \(x, y, z\) spełniają następujące warunki:
$$x,y,z\gt0 \;\text{ oraz }\; x,y,z\neq1 \;\text{ oraz }\; y^z=x$$
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych. Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości:
A. \(log_{x}y=z\)
B. \(y^{-log_{y}x}=\frac{1}{x}\)
C. \(log_{x}z=y\)
D. \(y^{log_{x}y}=x\)
E. \(log_{y}x=z\)
F. \(z^{-log_{x}z}=\frac{1}{y}\)
Pierwsze równanie jesteśmy w stanie ułożyć tak naprawdę z definicji logarytmu, którą znajdziemy w tablicach matematycznych, czyli:
$$log_{a}b=c \Leftrightarrow a^c=b$$
Musimy się tylko odpowiednio dopasować symbolami. Z treści zadania wynika, że \(y^z=x\), zatem:
$$log_{y}x=z \Leftrightarrow y^z=x$$
To oznacza, że jedną z poprawnych odpowiedzi jest na pewno E. Poszukajmy teraz drugiej odpowiedzi. Również w tablicach znajdziemy takie oto równanie:
$$a^{log_{a}b}=b$$
Korzystając z naszych oznaczeń, zapisalibyśmy, że:
$$y^{log_{y}x}=x$$
Dokładnie takiej odpowiedzi nie mamy, ale przyglądając się proponowanym odpowiedziom, widzimy, że jesteśmy dość blisko zapisu z odpowiedzi B. Pamiętając o tym, że ujemna potęga związana jest z odwrotnością liczby, moglibyśmy stwierdzić, że:
$$y^{-log_{y}x}=\frac{1}{x}$$
Stąd też równie poprawną odpowiedzią będzie równanie z odpowiedzi B.