Zadanie 3 Zbiór zadań maturalnych - CKE (Formuła 2023) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że:
$$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0$$ $$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3}$$

Spróbujmy przekształcić to równanie, tak aby po jednej stronie mieć ułamek \(\frac{a}{b}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{2}$$ $$a=\frac{-b\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \quad\bigg/:b$$ $$\frac{a}{b}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

I analogicznie przekształćmy to nasze początkowe równanie, ale tym razem w taki sposób, aby otrzymać ułamek \(\frac{b}{a}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:a$$ $$\sqrt{2}=\frac{-b\sqrt{3}}{a} \quad\bigg/:-\sqrt{3}$$ $$\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Znając wartości liczbowe ułamków \(\frac{a}{b}\) oraz \(\frac{b}{a}\) możemy przystąpić do obliczenia sumy:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Krok 2. Obliczenie sumy podanego wyrażenia.
Chcąc dodać teraz do siebie te dwa ułamki, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka należałoby pomnożyć przez wartość mianownika drugiego ułamka (czyli przez \(\sqrt{3}\)) i analogicznie licznik oraz mianownik drugiego ułamka trzeba pomnożyć przez wartość mianownika pierwsze ułamka (czyli przez \(\sqrt{2}\)). Całość wyglądałaby następująco:
$$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}+\frac{-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}=$$ $$=\frac{-3}{\sqrt{6}}+\frac{-2}{\sqrt{6}}=\frac{-5}{\sqrt{6}}$$

Otrzymany wynik jest poprawny, ale zgodnie z poleceniem, musimy jeszcze usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. W tym celu musimy licznik oraz mianownik tego ułamka pomnożyć przez \(\sqrt{6}\), otrzymując:
$$\frac{-5}{\sqrt{6}}=\frac{-5\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{6}}{6}$$