📄 Treść zadania
Dane są dwa trójkąty podobne \(ABC\) i \(KLM\) o polach równych – odpowiednio – \(P\) oraz \(2P\). Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(x\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Obwód trójkąta \(KLM\) jest równy:
A. \(\sqrt{2}\cdot x\),
B. \(2x\),
ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy
1. kwadratowi stosunku pól tych trójkątów.
2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów.
3. stosunkowi pól tych trójkątów.
Z własności figur podobnych wynika, że gdy skala podobieństwa jest równa \(k\), to obwód figury podobnej jest \(k\) razy większy od figury podstawowej, a pole jest \(k^2\) razy większe.
W przypadku naszego zadania widzimy, że pole figury podobnej jest \(2\) razy większe, zatem:
$$k^2=2 \ ,\
k=\sqrt{2} \quad\lor\quad k=-\sqrt{2}$$
Ujemną wartość odrzucamy, bo skala podobieństwa jest zawsze dodatnia, zatem \(k=\sqrt{2}\). Jeżeli więc obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(x\), to obwód trójkąta \(KLM\) będzie \(\sqrt{2}\) razy większy, czyli będzie równy \(\sqrt{2}\cdot x\).
Odpowiedzią do tego zadania będzie więc "\(\sqrt{2}\cdot x\), ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów."