📄 Treść zadania
Rozwiąż równanie: \(\frac{3x+2}{3x-2}=4-x\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Rozwiązywanie zadania powinniśmy zacząć od zapisania założeń. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, więc wartość z mianownika powinna być różna od zera. W związku z tym:
$$3x-2\neq0$$
$$3x\neq2$$
$$x\neq\frac{2}{3}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika, czyli przez \(3x-2\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{3x+2}{3x-2}=4-x \quad\bigg/\cdot(3x-2)$$
$$3x+2=(4-x)(3x-2)$$
$$3x+2=12x-8-3x^2+2x$$
$$3x+2=-3x^2+14x-8$$
$$3x^2-11x+10=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-11,\;c=10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot3\cdot10=121-120=1$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{11-1}{2\cdot3}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{11+1}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Wyszło nam, że \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\), ale to nie koniec zadania. Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się przypadkiem z założeniami z pierwszego kroku. W tym przypadku tak się nie stało, więc obydwa rozwiązania są jak najbardziej prawidłowe. Stąd też możemy zapisać, że ostatecznymi rozwiązaniami równania są \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\).