📄 Treść zadania
W każdym n-kącie wypukłym (\(n\ge3\)) liczba przekątnych jest równa \(\frac{n(n-3)}{2}\). Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o \(25\) większa od liczby boków jest:
A
siedmiokąt
B
dziesięciokąt
C
dwunastokąt
D
piętnastokąt
Krok 1. Ułożenie równania.
Chcemy, by liczba przekątnych była o \(25\) większa od liczby boków, więc musimy rozwiązać następujące równanie:
$$n+25=\frac{n(n-3)}{2}$$
$$2n+50=n(n-3)$$
$$2n+50=n^2-3n$$
$$-n^2+5n+50=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=5,\;c=50\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-1)\cdot50=25-(-200)=225$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{225}=15$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-15}{2\cdot(-1)}=\frac{-20}{-2}=10$$
$$n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+15}{2\cdot(-1)}=\frac{10}{2}=-5$$
Ujemny wynik musimy odrzucić, bo liczba kątów w wielokącie jest dodatnia, zatem zostaje nam \(n=10\). To oznacza, że poszukiwanym wielokątem jest dziesięciokąt.