📄 Treść zadania
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=-4\) , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\) jest równa \(16\).
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=-78\).
Krok 1. Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu.
Skoro średnia arytmetyczna sześciu wyrazów tego ciągu jest równa \(16\), to znaczy że:
$$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{6}=16$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=96$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać każdy z kolejnych wyrazów w następujący sposób:
\(a_{1}\)
\(a_{2}=a_{1}+r\)
\(a_{3}=a_{1}+2r\)
\(a_{4}=a_{1}+3r\)
\(a_{5}=a_{1}+4r\)
\(a_{6}=a_{1}+5r\)
Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r+a_{1}+5r=96$$
$$6a_{1}+15r=96$$
Z treści zadania wynika, że \(r=-4\), zatem mamy:
$$6a_{1}+15\cdot(-4)=96$$
$$6a_{1}-60=96$$
$$6a_{1}=156$$
$$a_{1}=26$$
Krok 3. Obliczenie wartości \(k\) dla której \(a_{k}=-78\).
Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie który wyraz tego ciągu jest równy \(-78\), wiedząc że \(a_{1}=26\) oraz \(r=-4\). Możemy to zrobić korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W zasadzie w tym wzorze zamiast symbolu \(n\) możemy użyć symbolu \(k\), tak aby dopasować się do treści zapisu z zadania, zatem:
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r$$
$$-78=26+(k-1)\cdot(-4)$$
$$-78=26-4k+4$$
$$-78=30-4k$$
$$-4k=-108$$
$$k=27$$