📄 Treść zadania
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(1\), a dwudziesty wyraz tego ciągu jest równy \(13\). Oblicz sumę tych wszystkich wyrazów ciągu, które są mniejsze od \(33\).
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu i różnicy ciągu.
Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{20}=a_{1}+19r$$
Wiemy, że wartość \(a_{2}=1\) oraz że \(a_{20}=13\). Układając więc z tych wszystkich informacji układ równań będziemy w stanie obliczyć wartość \(a_{1}\) oraz \(r\):
$$\begin{cases} a_{1}+r=1 \\ a_{1}+19r=13 \end{cases}$$
Ten układ równań możemy rozwiązać na dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu odjąć te dwa równania stronami, otrzymując:
$$-18r=-12$$
$$r=\frac{2}{3}$$
Znając wartość różnicy ciągu możemy już bez przeszkód obliczyć wartość \(a_{1}\) podstawiając \(r=\frac{2}{3}\) do jednego z równań (np. pierwszego):
$$a_{1}+r=1$$
$$a_{1}+\frac{2}{3}=1$$
$$a_{1}=\frac{1}{3}$$
Krok 2. Zapisanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i znając wartość \(a_{1}=\frac{1}{3}\) oraz \(r=\frac{2}{3}\) możemy zapisać, że wzorem ogólnym naszego ciągu arytmetycznego jest:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
$$a_{n}=\frac{1}{3}+(n-1)\cdot\frac{2}{3}$$
$$a_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n-\frac{2}{3}$$
$$a_{n}=\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}$$
Krok 3. Wyznaczenie liczby wyrazów, które są mniejsze od \(33\).
Chcąc się dowiedzieć ile wyrazów jest mniejszych od \(33\) musimy rozwiązać prostą nierówność:
$$\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}\lt33 \quad\bigg/\cdot3$$
$$2n-1\lt99$$
$$2n\lt100$$
$$n\lt50$$
Otrzymany wynik oznacza, że dopóki \(n\) jest mniejsze od \(50\), to wartość ciągu jest mniejsza od \(33\). To oznacza, że będziemy mieć \(49\) wyrazów mniejszych od \(33\) (będą to wyrazy od pierwszego do czterdziestego dziewiątego).
Krok 4. Obliczenie sumy \(49\) wyrazów ciągu arytmetycznego.
Do obliczenia poszukiwanej sumy skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Znamy wszystkie potrzebne wartości, zatem podstawiając \(a_{1}=\frac{1}{3}\), \(r=\frac{2}{3}\) oraz \(n=49\) otrzymamy:
$$S_{49}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+(49-1)\cdot\frac{2}{3}}{2}\cdot49$$
$$S_{49}=\frac{\frac{2}{3}+48\cdot\frac{2}{3}}{2}\cdot49$$
$$S_{49}=\frac{\frac{2}{3}+32}{2}\cdot49$$
$$S_{49}=\frac{32\frac{2}{3}}{2}\cdot49$$
$$S_{49}=16\frac{1}{3}\cdot49$$
$$S_{49}=800\frac{1}{3}$$