📄 Treść zadania
W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.
Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\).
Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
$$|AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{6^2+2^2}$$
$$|AB|=\sqrt{36+4}$$
$$|AB|=\sqrt{40}$$
Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\).
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$
$$|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2}$$
$$|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$
Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.
Krok 4. Obliczenie długości boku \(AC\).
I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\).
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$
$$|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2}$$
$$|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\).
Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2$$
$$(\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2$$
$$40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2$$
$$40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2$$
$$5x^2-28x+144=5x^2-8x+16$$
$$-28x+144=-8x+16$$
$$-20x=-128$$
$$x=6,4$$
Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\).
Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\):
$$y=2x+3$$
$$y=2\cdot6,4+3$$
$$y=12,8+3$$
$$y=15,8$$
To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).