Zadanie 11 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2018 — zadania z rozwiązaniami

Aby funkcja nie miała miejsc zerowych to musi to być prosta równoległa do osi iksów, która będzie się znajdować nad lub pod tą osią. Będziemy więc chcieli otrzymać wzór funkcji typu np. \(y=3\) albo \(y=-4\), czyli będziemy chcieli otrzymać tak zwaną funkcję stałą. To z kolei oznacza, że współczynnik kierunkowy \(a\) musi być w tym przypadku równy \(0\). W funkcji liniowej z treści zadania \(a=1-m^2\), zatem:
$$1-m^2=0$$ $$m^2=1$$ $$m=1 \quad\lor\quad m=-1$$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa znajdują się w naszych odpowiedziach. To oznacza, że prawdopodobnie jedno z tych rozwiązań daje nam prostą idealnie pokrywającą się z osią iksów i to rozwiązanie będziemy musieli odrzucić. Podstawmy zatem \(m=1\) oraz \(m=-1\) i sprawdźmy, którą z tych odpowiedzi trzeba odrzucić.

Dla \(m=1\):
$$y=(1-1^2)x+1-1$$ $$y=(1-1)x+0$$ $$y=0x+0$$ $$y=0$$

Otrzymaliśmy prostą \(y=0\), która pokrywa się z osią iksów. To rozwiązanie musimy więc odrzucić, bo ta prosta ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Dla \(m=-1\):
$$y=(1-(-1)^2)x+(-1)-1$$ $$y=(1-1)x-1-1$$ $$y=0x-2$$ $$y=-2$$

Tym razem otrzymaliśmy prostą równoległą do osi iksów, która znajduje się pod tą osią. To jest rozwiązanie przez nas poszukiwane, zatem możemy powiedzieć że funkcja \(f(x)\) nie ma miejsc zerowych dla \(m=-1\).