📄 Treść zadania
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{1}=\sqrt{2}\), \(a_{2}=2\sqrt{2}\), \(a_{3}=4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać:
A
\(a_{n}=(\sqrt{2})^n\)
B
\(a_{n}=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)
C
\(a_{n}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\)
D
\(a_{n}=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy dzieląc np. wartość drugiego wyrazu przez wartość pierwszego wyrazu:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$
$$q=2$$
Krok 2. Zapisanie wzoru ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n-1}$$
$$a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n}\cdot2^{-1}$$
$$a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n}\cdot\frac{1}{2}$$
$$a_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot2^{n}}{2}$$
Niestety takiego wzoru w odpowiedziach nie mamy, dlatego musimy doprowadzić ten zapis do innej postaci. Widzimy, że w liczniku powinniśmy mieć \(2^n\) i taka sytuacja jest tylko w odpowiedzi B. Aby osiągnąć taki zapis jak w tej odpowiedzi musimy wykonać dość nietypowe (bo prowadzące do pierwiastka w mianowniku) mnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{2}\).
$$a_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot2^{n}}{2\cdot\sqrt{2}}$$
$$a_{n}=\frac{2\cdot2^{n}}{2\cdot\sqrt{2}}$$
$$a_{n}=\frac{2^{n}}{\sqrt{2}}$$