📄 Treść zadania
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są: wyraz \(a_{1}=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_{3}=33\). Oblicz różnicę: \(a_{16}-a_{13}\).
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to:
$$S_{3}=33$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=33$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33$$
$$3\cdot8+3r=33$$
$$24+3r=33$$
$$3r=9$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\).
$$a_{16}=a_{1}+15r$$
$$a_{13}=a_{1}+12r$$
Zatem:
$$a_{16}-a_{13}=a_{1}+15r-(a_{1}+12r)=3r=3\cdot3=9$$