📄 Treść zadania
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_{n}=3n^2+4n\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A
\(45\)
B
\(31\)
C
\(21\)
D
\(11\)
Zastanówmy się jak podejść do tego zadania. Gdybyśmy podstawili \(n=5\) do wzoru z treści zadania to uzyskamy odpowiedź na pytanie jaka jest suma pięciu wyrazów tego ciągu, czyli dowiemy się ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\). My chcemy się dowiedzieć ile jest równy konkretnie ten piąty wyraz. Gdybyśmy podstawili \(n=4\), to dowiemy się ile jest równa suma czterech wyrazów tego ciągu, czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\). Jak widać, różnica między sumą pięciu wyrazów i sumą czterech wyrazów jest równa właśnie wartości piątego wyrazu i to będzie klucz do rozwiązania tego zadania.
Krok 1. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów.
Podstawiając do wzoru \(S_{n}=3n^2+4n\) wartość \(n=5\) otrzymamy:
$$S_{5}=3\cdot5^2+4\cdot5$$
$$S_{5}=3\cdot25+20$$
$$S_{5}=75+20$$
$$S_{5}=95$$
Krok 2. Obliczenie sumy czterech początkowych wyrazów.
Podstawiając teraz \(n=4\) otrzymamy:
$$S_{4}=3\cdot4^2+4\cdot4$$
$$S_{4}=3\cdot16+16$$
$$S_{4}=48+16$$
$$S_{4}=64$$
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Zgodnie z planem działania, wartość piątego wyrazu będzie równa różnicy między \(S_{5}\) i \(S_{4}\), zatem:
$$a_{5}=S_{5}-S_{4}$$
$$a_{5}=95-64$$
$$a_{5}=31$$