📄 Treść zadania
Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku jest równy:
A
\(\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a\)
B
\(\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a\)
C
\((3+\sqrt{3})a\)
D
\((2+\sqrt{2})a\)
W tym zadaniu najprościej będzie wykorzystać własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\). Z tych własności wynika wprost, że długość dłuższej przyprostokątnej jest równa \(|AB|=a\sqrt{3}\), a długość przeciwprostokątnej wynosi \(|AC|=2a\). Obwód trójkąta będzie więc równy:
$$Obw=a+a\sqrt{3}+2a$$
$$Obw=3a+a\sqrt{3}$$
$$Obw=(3+\sqrt{3})a$$
Gdybyśmy o tych własnościach nie pamiętali, to do wyznaczenia długości boków zawsze możemy posłużyć się jeszcze funkcjami trygonometrycznymi:
Wyznaczenie długości boku \(AB\):
$$tg30°=\frac{a}{|AB|}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{|AB|} \quad\bigg/\cdot |AB|$$
$$a=\frac{\sqrt{3}}{3}|AB| \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}$$
$$|AB|=\frac{3}{\sqrt{3}}a$$
$$|AB|=\frac{3\sqrt{3}}{3}a$$
$$|AB|=a\sqrt{3}$$
Wyznaczenie długości boku \(AC\):
$$sin30°=\frac{a}{|AC|}$$
$$\frac{1}{2}=\frac{a}{|AC|} \quad\bigg/\cdot |AC|$$
$$a=\frac{1}{2}|AC| \quad\bigg/\cdot2$$
$$|AC|=2a$$