📄 Treść zadania
Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy \(960\) złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy wyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu przypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o \(16\) złotych. Oblicz, ile osób wyjechało na biwak.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak
\(y\) - początkowy koszt wynajęcia busa na jedną osobę
\(960\) - całkowity koszt wynajęcia busa
\(x+2\) - liczba wyjeżdżających po dołączeniu dwóch osób
\(y-16\) - koszt wynajęcia busa na jedną osobę po dołączeniu dwóch osób
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie powyższych informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases} xy=960 \\ (x+2)(y-16)=960 \end{cases}\begin{cases} xy=960 \\ xy-16x+2y-32=960 \end{cases}
Podstawiając \(xy=960\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$960-16x+2y-32=960$$
$$-16x+2y-32=0$$
$$2y=16x+32$$
$$y=8x+16$$
Podstawiając teraz \(y=8x+16\) do równania \(xy=960\) otrzymamy:
$$x\cdot(8x+16)=960$$
$$8x^2+16x=960 \quad\bigg/:8$$
$$x^2+2x=120$$
$$x^2+2x-120=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-120\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-120)=4-(-480)=4+480=484$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{484}=22$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-22}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+22}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem otrzymaliśmy że \(x=10\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak, ale wiemy, że dołączyły do nich jeszcze dwie osoby. Zatem ostatecznie na biwak pojechało \(12\) osób.