Zadanie 32 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2012 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s=30\) - pokonana trasa (w \(km\))
\(v_{1}\) - prędkość marszu (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}=v_{1}+9\) - prędkość jazdy rowerem (w \(\frac{km}{h}\))
\(t_{1}\) - czas marszu (w godzinach)
\(t_{2}=t_{1}-3\) - czas jazdy rowerem (w godzinach)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy w formie układu równań, relację dotyczącą prędkości marszu oraz jazdy rowerem:
$$\begin{cases} s=v_{1}\cdot t_{1} \\ s=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$

$$\begin{cases} 30=v_{1}\cdot t_{1} \\ 30=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$

Podstawiając pod drugie równanie dane z kroku pierwszego otrzymamy:
$$\begin{cases} 30=v_{1}\cdot t_{1} \\ 30=(v_{1}+9)\cdot (t_{1}-3) \end{cases}$$

$$\begin{cases} v_{1}=\frac{t_{1}}{180} \\ 180=(v_{1}+9)\cdot (t_{1}-3) \end{cases}$$

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego:
$$30=\left(\frac{t_{1}}{30}+9\right)\cdot(t_{1}-3)$$

Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy:
$$30=30-\frac{90}{t_{1}}+9t_{1}-27 \quad\bigg/-30$$ $$-\frac{90}{t_{1}}+9t_{1}-27=0 \quad\bigg/\cdot t_{1}$$ $$-90+9t_{1}^2-27t_{1}=0 \quad\bigg/:9$$ $$-10+t_{1}^2-3t_{1}=0$$ $$t_{1}^2-3t_{1}-10=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=9+40=49$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$ $$t_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=5\).

Krok 4. Obliczenie prędkości marszu.
Znamy długość drogi \(s=30km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t=5h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość marszu:
$$v=\frac{s}{t}$$ $$v=\frac{30km}{5h}$$ $$v=6\frac{km}{h}$$