Zadanie 19 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2016 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PO_{1}\).
Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek \(PO_{2}\) ma długość równą \(4\), bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej \(PO_{1}\):
$$a^2+b^2=c^2$$ $$|PO_{2}|^2+|PO_{1}|^2=|O_{1}O_{2}|^2$$ $$4^2+|PO_{1}|^2=7^2$$ $$16+|PO_{1}|^2=49$$ $$|PO_{1}|^2=33$$ $$|PO_{1}|=\sqrt{33}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.
Obliczona przez nas długość odcinka \(|PO_{1}|=\sqrt{33}\) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie \(|PO_{2}|=4\). Pole powierzchni tej figury jest więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|PO_{2}|\cdot|PO_{1}|$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{33}$$ $$P=2\sqrt{33}$$