📄 Treść zadania
Z punktu \(P\) poprowadzono dwie styczne do okręgu w punktach \(A\) i \(B\) (zobacz rysunek). Promień okręgu ma długość \(5\), a odległość punktu \(P\) od środka \(S\) tego okręgu jest równa \(13\). Ile wynosi pole deltoidu \(PBSA\)?
A
\(30\)
B
\(60\)
C
\(64\)
D
\(65\)
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PA\).
Styczna do okręgu tworzy z promieniem zawsze kąt prosty, a to oznacza, że trójkąt \(PSA\) jest prostokątny. Znamy dwie długości w tym trójkącie, a mianowicie \(|AS|=5\) oraz \(|PS|=13\). Możemy więc wyznaczyć długość odcinka \(PA\) za pomocą Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+|PA|^2=13^2$$
$$25+|PA|^2=169$$
$$|PA|^2=144$$
$$|PA|=12 \quad\lor\quad |PA|=-12$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|PA|=12\).
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(PSA\).
Trójkąt \(PSA\) jest połową naszego deltoidu. Jeżeli więc poznamy pole tego trójkąta, to za chwilę bez problemu obliczymy pole deltoidu. Znamy długości dwóch przyprostokątnych w tym trójkącie, zatem znamy miary podstawy i wysokości, czyli:
$$P_{PSA}=\frac{1}{2}ah$$
$$P_{PSA}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12$$
$$P_{PSA}=30$$
Krok 3. Obliczenie pola deltoidu \(PBSA\).
Pole deltoidu będzie dwukrotnie większe od wyznaczonego przed chwilą pola trójkąta \(PSA\), zatem:
$$P=2\cdot P_{PSA}$$
$$P=2\cdot30$$
$$P=60$$