📄 Treść zadania
Odległość między środkami okręgów o równaniach \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) oraz \(x^2+y^2=10\) jest równa:
A
\(\sqrt{5}\)
B
\(\sqrt{10}-3\)
C
\(3\)
D
\(5\)
Równanie okręgu w postaci kanonicznej przybiera postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są współrzędnymi środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień okręgu. Nas interesuje odczytanie z tych dwóch równań z treści zadania współrzędnych środków dwóch okręgów, co później pozwoli nam na wyznaczenie długości odcinka między tymi środkami.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środków okręgów.
Okrąg o równaniu \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) ma zgodnie z tym co wyżej napisaliśmy współrzędne środka okręgu \(S_{1}=(-1;2)\).
Okrąg o równaniu \(x^2+y^2=10\) ma współrzędne środka okręgu \(S_{2}=(0;0)\).
Krok 2. Obliczenie odległości między środkami okręgów.
Znając współrzędne dwóch punktów możemy obliczyć długość odcinka między nimi, korzystając ze wzoru:
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$$
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(0-(-1))^2+(0-2)^2}$$
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}$$
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{1+4}$$
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{5}$$