📄 Treść zadania
Ciąg \((9,x,19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x,42,y,z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).
Krok 1. Wyznaczenie wartości wyrazu \(x\).
Skorzystamy z ciągu arytmetycznego i z reguły, która mówi że drugi wyraz ciągu jest wynikiem średniej arytmetycznej pierwszego i trzeciego wyrazu. Całość możemy opisać wzorem:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$x=\frac{9+19}{2}$$
$$x=\frac{28}{2}$$
$$x=14$$
Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) ciągu geometrycznego.
Podstawiając \(x=14\) do ciągu geometrycznego otrzymamy ciąg \((14,42,y,z)\). Znamy więc wartości dwóch wyrazów stojących obok siebie, a to z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{42}{14}$$
$$q=3$$
Krok 3. Obliczenie wartości wyrazów \(y\) oraz \(z\).
Znając wartość \(q\) bez problemu wyliczymy już dowolny wyraz tego ciągu geometrycznego np. korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Zatem:
$$a_{3}=a_{1}\cdot 3^{3-1}$$
$$y=14\cdot3^2$$
$$y=14\cdot9=126$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{4}=a_{1}\cdot 3^{4-1}$$
$$z=14\cdot3^3$$
$$z=14\cdot27=378$$
Chcąc wyznaczyć np. trzeci wyraz ciągu geometrycznego mogliśmy też po prostu wymnożyć wartość drugiego wyrazu, czyli \(42\) przez iloraz, czyli przez \(3\), otrzymując w ten sposób \(y=126\). Analogicznie obliczylibyśmy czwarty wyraz, mnożąc \(126\) przez \(3\) i otrzymując w ten sposób \(z=378\).
Otrzymaliśmy w ten sposób następujące wyniki: \(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\).