📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(cosα=\frac{3}{5}\). Wtedy:
A
\(sinα\cdot tgα=\frac{16}{15}\)
B
\(sinα\cdot tgα=\frac{15}{16}\)
C
\(sinα\cdot tgα=\frac{8}{15}\)
D
\(sinα\cdot tgα=\frac{6}{20}\)
Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$sin^2α+\left(\frac{3}{5}\right)^2=1$$
$$sin^2α+\frac{9}{25}=1$$
$$sin^2α=\frac{16}{25}$$
$$sinα=\sqrt{\frac{16}{25}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{16}{25}}$$
$$sinα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{4}{5}$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo sinus dla kątów ostrych przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\frac{4}{5}\).
Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$$
$$tgα=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}$$
$$tgα=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{3}$$
$$tgα=\frac{4}{3}$$
Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot tgα\).
Na sam koniec musimy jeszcze obliczyć wartość wyrażenia \(sinα\cdot tgα\), bo tego tak naprawdę dotyczy całe zadanie:
$$sinα\cdot tgα=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{16}{15}$$