📄 Treść zadania
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \((2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\).
Krok 1. Rozpisanie wyrażenia z treści zadania.
Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q$$
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
Podstawiając te dane do naszego równania \(6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0\) otrzymamy:
$$6a_{1}-5\cdot(a_{1}\cdot q)+a_{1}\cdot q^2=0$$
$$6a_{1}-5a_{1}\cdot q+a_{1}\cdot q^2=0$$
I teraz kluczowy moment zadania. Aby rozwiązać to równanie musimy wyłączyć \(a_{1}\) przed nawias, otrzymując:
$$a_{1}\cdot(6-5q+q^2)=0 \quad\bigg/:a_{1}$$
$$6-5q+q^2=0$$
$$q^2-5q+6=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
$$q_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$$
$$q_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że \(q\) musi należeć do przedziału \((2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\). Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) możemy założyć, że nasz iloraz \(q\) musi być większy od około \(2,82\) i mniejszy od \(4,23\). Taki warunek spełnia jedynie \(q=3\) i to będzie nasza jedyna odpowiedź do tego zadania.