📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα+cosα=\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(tgα+\frac{1}{tgα}\).
Krok 1. Rozpisanie wartości poszukiwanego wyrażenia.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Możemy spokojnie przekształcać wszystkie zapisy, bo wiemy że kąt \(α\) jest ostry, a więc nie ma obaw że wykonamy dzielenie przez \(0\), bo \(sinα\gt0\) oraz \(cosα\gt0\). W związku z tym:
$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{sinα}{cosα}+\frac{1}{\frac{sinα}{cosα}}=\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=$$
$$=\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}=$$
$$=\frac{sin^2α}{sinα\cdot cosα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}=$$
$$=\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{1}{sinα\cdot cosα}$$
Krok 2. Rozpisanie wartości \(sinα\cdot cosα\).
W mianowniku pojawiła nam się wartość \(sinα\cdot cosα\). Musimy wyznaczyć jej wartość, tak aby dokończyć obliczenia. Tę wartość wyznaczymy z jedynki trygonometrycznej i informacji zawartej w treści zadania, że \(sinα+cosα=\sqrt{2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$sinα+cosα=\sqrt{2} \quad\bigg/^2$$
$$(sinα+cosα)^2=2$$
$$sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=2$$
$$sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=2$$
$$1+2sinαcosα=2$$
$$2sinαcosα=1$$
$$sinαcosα=\frac{1}{2}$$
Krok 3. Dokończenie obliczeń.
Skoro już wiemy, że \(sinαcosα=\frac{1}{2}\), to możemy dokończyć obliczenia z kroku pierwszego:
$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=1:\frac{1}{2}=1\cdot2=2$$