📄 Treść zadania
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Ustalmy na początek co to znaczy, że liczba podzielna przez \(8\) daje resztę równą \(6\). To oznacza, że całą liczbę da się zapisać w postaci typu \(8\cdot k+6\), gdzie \(k\) będzie jakimś wyrażeniem składającym się z liczb naturalnych. Wtedy jak podzielimy wyrażenie \(8k+6\) przez \(8\) to otrzymamy wynik równy \(k\) i reszta \(6\).
Skoro interesują nas tylko liczby naturalne, to możemy zapisać, że czterema kolejnymi liczbami naturalnymi są: \(n, n+1, n+2, n+3\). Teraz zgodnie z treścią polecenia będziemy chcieli obliczyć sumę kwadratów tych czterech liczb, czyli będziemy chcieli obliczyć:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2$$
I z takiej postaci też dojdziemy do końcowego rozwiązania, ale będzie ono dość żmudne i długie. Tutaj powinniśmy wpaść na pomysł, żeby za kolejne liczby naturalne przyjąć: \(n-1, n, n+1, n+2\). Co nam da takie zapisanie? Teraz po prostu więcej rzeczy (zwłaszcza z pary \(n-1\) oraz \(n+1\)) zacznie nam się skracać, co znacznie uprości obliczenia.
Krok 2. Obliczenie sumy kwadratu czterech kolejnych liczb.
Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami możemy zapisać, że:
$$(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=$$
$$=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=$$
$$=4n^2+4n+6=$$
$$=4n(n+1)+6$$
Krok 3. Analiza otrzymanego wyniku i zakończenie dowodzenia.
Musimy teraz udowodnić, że \(4n(n+1)\) jest liczbą podzielną przez \(8\). Póki co to wiemy, że jest na pewno podzielne przez \(4\), bo przed nawiasem mamy właśnie czwórkę. Jeżeli to udowodnimy, to zadanie można uznać za skończone, bo liczba podzielna przez \(8\) powiększona o \(6\), da nam rzeczywiście resztę równą \(6\) po dzieleniu przez \(8\).
Zauważmy, że \(n(n+1)\) jest to jest po prostu mnożenie dwóch kolejnych liczb naturalnych \(n\cdot(n+1)\). Skoro tak jedna z tych liczb (\(n\) lub \(n+1)\) jest nieparzysta, a jedna (\(n\) lub \(n+1)\) jest parzysta. Iloczyn liczby nieparzystej i parzystej da wynik parzysty. W związku z tym iloczyn \(n(n+1)\) jest podzielny przez \(2\), czyli możemy zapisać, że:
$$n(n+1)=2\cdot k$$
Wracając teraz do naszego wyniku, jeżeli podstawimy pod \(n(n+1)\) wartość \(2k\), to otrzymamy:
$$4n(n+1)+6=4\cdot2k+6=8k+6$$
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że ta liczba po podzieleniu przez \(8\) daje wynik równy \(k\) i reszta \(6\).