📄 Treść zadania
Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest:
A
\(4\)
B
\(3\)
C
\(0\)
D
\(5\)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku (o ile ten wierzchołek mieści się w tym przedziale). Z tego też względu na początku musimy ustalić współrzędne wierzchołka tej paraboli.
Funkcja jest podana w postaci kanonicznej, czyli takiej z której współrzędne wierzchołka są proste do odczytania. Dla wierzchołka o współrzędnych \(W=(p;q)\) funkcja przyjmuje postać:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
Przyrównując to do wzoru podanego w treści zadania widzimy, że w tym przypadku \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2;4)\). To z kolei oznacza, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\), czyli w ogóle nie będziemy go rozpatrywać.
Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku - największa wartość funkcji w danym przedziale musi być osiągnięta na krańcach tego przedziału, czyli albo dla \(x=3\) albo dla \(x=5\). Zatem podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3$$
$$f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$
To oznacza, że największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).