Zadanie 12 Matura podstawowa — matematyka, maj 2025 — arkusz z rozwiązaniami

Zadanie 12.1.

W zadaniu skorzystamy z postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$f(x)=a(x-3)^2+6$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\). Poznamy go, gdy podstawimy współrzędne punktu przecięcia się wykresu z osią \(Oy\), czyli punktu o współrzędnych \((0,3)\). W związku z tym:
$$3=a(0-3)^2+6$$ $$3=a(-3)^2+6$$ $$3=9a+6$$ $$-3=9a$$ $$a=-\frac{1}{3}$$

To oznacza, że ta funkcja wyraża się wzorem:
$$f(x)=-\frac{1}{3}(x-3)^2+6$$

Zadanie 12.2.

Oś symetrii paraboli to linia równoległa do osi \(Oy\), która przechodzi przez wierzchołek. W naszym przypadku osią symetrii będzie więc prosta opisana równaniem \(x=3\).

Zadanie 12.3.

Miejscami zerowymi są argumenty \(x\), dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Ze wzoru \(g(x)=f(x)-3\) wynika, że funkcja \(g(x)\) powstaje w wyniku przesunięcia się funkcji \(f(x)\) o trzy jednostki w dół. To sprawi, że pierwszym miejscem zerowym takiej funkcji będzie \(x_{1}=0\), a drugim będzie \(x_{2}=6\).


Tym samym:
$$x_{1}+x_{2}=0+6=6$$