📄 Treść zadania
Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe \(\frac{1}{3}π^3\). Długość boku tego trójkąta jest równa:
A
\(\frac{π}{3}\)
B
\(π\)
C
\(\sqrt{3}π\)
D
\(3π\)
Krok 1. Zapisanie zależności między promieniem koła i wysokością trójkąta.
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Wiedząc, że wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wyraża się wzorem \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) możemy zapisać, że:
$$R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$
Krok 2. Obliczenie długości boku trójkąta.
Korzystając ze wzoru na pole koła możemy zapisać, że:
$$P=πR^2$$
$$\frac{1}{3}π^3=π\cdot\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 \quad\bigg/:π$$
$$\frac{1}{3}π^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2$$
$$\frac{1}{3}π^2=\frac{a^2\cdot3}{9}$$
$$\frac{1}{3}π^2=\frac{a^2}{3} \quad\bigg/\cdot3$$
$$π^2=a^2$$
$$a=π \quad\lor\quad a=-π$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok trójkąta nie może mieć ujemnej długości, zatem \(a=π\).