Zadanie 16 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2017 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\).
Kąt środkowy \(AOC\) jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \(ABC\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że w takiej sytuacji kąt środkowy będzie mieć miarę dwukrotnie większą, zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=2\cdot20°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(CAO\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACO\). Jest to trójkąt równoramienny, którego ramiona \(AO\) oraz \(CO\) mają długość równą promieniu okręgu. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę i to właśnie pozwoli nam wyznaczyć miarę kąta \(CAO\). Skoro \(|\sphericalangle AOC|=40°\), a suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\), to znaczy że:
$$|\sphericalangle CAO|=(180°-40°):2=140°:2=70°$$