📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i spełniona jest równość \(sinα+cosα=\frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((sinα-cosα)^2\).
Podnosząc do kwadratu sumę \(sinα+cosα\) otrzymamy:
$$sinα+cosα=\frac{\sqrt{7}}{2}$$
$$(sinα+cosα)^2=\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2$$
$$sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{7}{4}$$
$$sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{7}{4}$$
$$1+2sinαcosα=\frac{7}{4}$$
$$2sinαcosα=\frac{3}{4}$$
Teraz wiedząc, że \(2sinαcosα=\frac{3}{4}\) możemy zapisać, że:
$$(sinα-cosα)^2=sin^2α-2sinαcosα+cos^2α=$$
$$=sin^2α+cos^2α-2sinαcosα=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$