📄 Treść zadania
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-3)(7-x)\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) należy do prostej o równaniu:
A
\(y=-5\)
B
\(y=5\)
C
\(y=-4\)
D
\(y=4\)
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych funkcji.
Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem przyrównując wartości w nawiasach do zera bardzo szybko określimy miejsca zerowe:
$$x-3=0 \quad\lor\quad 7-x=0$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=7$$
Krok 2. Określenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli.
Współrzędną iksową wierzchołka paraboli określamy symbolem \(p\). Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że współrzędna iksowa wierzchołka paraboli znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy dwoma miejscami zerowymi. W związku z tym:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$
$$p=\frac{3+7}{2}$$
$$p=\frac{10}{2}$$
$$p=5$$
Krok 3. Określenie współrzędnej igrekowej wierzchołka paraboli.
Wiemy już, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=5\). To oznacza, że podstawiając do wzoru funkcji pod iksa tę piątkę obliczymy współrzędną igrekową wierzchołka paraboli (oznaczaną symbolem \(q\)). Zatem:
$$q=(5-3)(7-5)$$
$$q=2\cdot2$$
$$q=4$$
W związku z tym, że współrzędna igrekowa wierzchołka jest równa \(q=4\), to nasz wierzchołek paraboli należy do prostej \(y=4\).