📄 Treść zadania
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\).
Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:
A
\(b\lt0, c\gt0\)
B
\(b\lt0, c\lt0\)
C
\(b\gt0, c\gt0\)
D
\(b\gt0, c\lt0\)
Krok 1. Ustalenie znaku współczynnika \(c\).
Zacznijmy od prostszego współczynnika, a mianowicie współczynnika \(c\). Z własności postaci ogólnej funkcji kwadratowej (czyli tej zapisanej w treści zadania) wynika, że o ile współczynnik \(a\) decyduje o tym czy ramiona są skierowane do góry czy do dołu, o tyle współczynnik \(c\) mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków dla \(y=2\), to współczynnik \(c=2\).
W naszym przypadku parabola przecina oś igreków w dodatnim miejscu, a to oznacza, że \(c\gt0\).
Krok 2. Ustalenie znaku współczynnika \(b\).
Ze współczynnikiem \(b\) nie wiążą się jakieś szczególne cechy, ale możemy poznać znak tego współczynnika korzystając z wierzchołka paraboli. Ze wzorów na współrzędną iksową paraboli (czyli współrzędną \(p\)) wynika, że:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
Współczynnik \(a\) jest akurat znany i jest on równy \(1\), bo przed \(x^2\) we wzorze funkcji nie stoi żadna wartość. Współrzędna iksowa wierzchołka (czyli współrzędna \(p\)) jest dodatnia, co widzimy na rysunku. To by oznaczało, że:
$$\frac{-b}{2a}\gt0$$
$$\frac{-b}{2\cdot1}\gt0$$
$$\frac{-b}{2}\gt0 \quad\bigg/\cdot2$$
$$-b\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$b\lt0$$
Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności.
To oznacza, że \(b\lt 0, c\gt 0\).