📄 Treść zadania
Rozwiąż równanie \(x^4-2x^3+27x-54=0\)
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^3\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(27\). To oznacza, że:
$$x^4-2x^3+27x-54=0$$
$$x^3(x-2)+27(x-2)$$
$$(x^3+27)(x-2)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$x^3+27=0 \quad\quad\lor\quad\quad x-2=0$$
$$x^3=-27 \quad\quad\lor\quad\quad x=2$$
$$x=-3 \quad\quad\lor\quad\quad x=2$$
To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania są: \(x=-3 \quad\lor\quad x=2\).