📄 Treść zadania
Równanie \(x(5x+1)=5x+1\) ma dokładnie:
A
jedno rozwiązanie: \(x=1\)
B
dwa rozwiązania: \(x=1\) i \(x=-1\)
C
dwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\)
D
dwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{5}\) i \(x=-1\)
Możemy to równanie rozwiązać w standardowy sposób wymnażając iksa przez wartość w nawiasie i przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę. Otrzymamy wtedy równanie kwadratowe \(5x^2-4x-1=0\), które rozwiążemy klasyczną deltą. Wyjdzie nam wtedy, że \(Δ=36\), co doprowadzi nas do dwóch rozwiązań: \(x_{1}=-\frac{1}{5}\) oraz \(x_{2}=1\).
Jednak to zadanie da się zrobić nieco sprytniej w następujący sposób:
$$x(5x+1)=5x+1$$
$$x(5x+1)-5x-1=0$$
$$x\cdot(5x+1)-1\cdot(5x+1)=0$$
$$(x-1)(5x+1)=0$$
Aby wartość tego równania była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad 5x+1=0$$
$$x=1 \quad\lor\quad 5x=-1$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-\frac{1}{5}$$
To oznacza, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\).