📄 Treść zadania
Trójwyrazowy ciąg \((x,y-4,y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro drugi wyraz ciągu jest równy \(y-4\), a trzeci jest równy \(y\), to różnica tego ciągu jest równa \(4\). Możemy do tego dojść też w bardziej matematyczny sposób:
$$r=a_{3}-a_{2}$$
$$r=y-(y-4)$$
$$r=y-y+4$$
$$r=4$$
Krok 2. Zapisanie wartości pierwszego wyrazu.
Pierwszy wyraz ciągu jest zapisany jako niewiadoma \(x\). Spróbujmy teraz zapisać ten wyraz przy użyciu niewiadomej \(y\), tak aby potem móc ułożyć równanie z jedną niewiadomą. Skoro różnica ciągu to \(r=4\) oraz \(a_{2}=y-4\), to:
$$a_{1}=a_{2}-r$$
$$a_{1}=y-4-4$$
$$a_{1}=y-8$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości wszystkich wyrazów ciągu.
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(6\), zatem:
$$(y-8)+(y-4)+y=6$$
$$3y-12=6$$
$$3y=18$$
$$y=6$$
Obliczona wartość to trzeci wyraz naszego ciągu, czyli \(a_{3}=6\). To oznacza, że:
$$a_{2}=y-4=6-4=2$$
$$a_{1}=y-8=6-8=-2$$
To oznacza, że wyrazami tego ciągu są kolejno \(-2\), \(2\) oraz \(6\).