📄 Treść zadania
Dane są wielomiany: \(W(x)=2x^2-1\), \(P(x)=x^3+x\) i \(Q(x)=(1-x)(x+1)\). Stopień wielomianu \(W(x)\cdot P(x)\cdot Q(x)\) jest równy:
A
\(3\)
B
\(6\)
C
\(7\)
D
\(12\)
Krok 1. Obliczenie stopnia wielomianu \(Q(x)\).
Stopień wielomianu to tak naprawdę jego najwyższa potęga jaka pojawia się w danym zapisie. W przypadku \(W(x)\) mamy drugi stopień wielomianu (bo pojawia się \(x^2\)), a \(P(x)\) jest wielomianem trzeciego stopnia (bo mamy \(x^3\)). Musimy poznać jeszcze stopień wielomianu \(Q(x)\):
$$Q(x)=(1-x)(x+1)$$
$$Q(x)=x+1-x^2-x$$
$$Q(x)=-x^2+1$$
Czyli \(Q(x)\) jest wielomianem drugiego stopnia.
Krok 2. Obliczenie stopnia iloczynu \(W(x)\cdot P(x)\cdot Q(x)\).
Nie musimy wymnażać przez siebie wszystkich wyrazów, aby poznać rozwiązanie tego zadania. Wystarczy wymnożyć przez siebie tylko te wyrazy z najwyższymi potęgami w każdym z wielomianów. Cała reszta nas nie interesuje. Zatem:
$$2x^2\cdot x^3\cdot(-x^2)=-2x^{2+3+2}=-2x^7$$
To oznacza, że powstanie nam wielomian siódmego stopnia.