Zadanie 30 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2011 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wyznaczenie wartości drugiego wyrazu.
Ten krok nie jest konieczny do rozwiązania zadania, ale ułatwia nam odnalezienie ilorazu ciągu geometrycznego. Spróbujmy odnaleźć wartość drugiego wyrazu naszego ciągu geometrycznego. Dla trzech kolejnych liczb ciągu geometrycznego zajdzie równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając nasze dane \(a_{1}=27\) oraz \(a_{3}=3\) do tego wzoru otrzymamy:
$${a_{2}}^2=27\cdot3$$ $${a_{2}}^2=81$$ $$a_{2}=9 \quad\lor\quad x_{2}=-9$$

Musimy się teraz zastanowić, czy przypadkiem któregoś z otrzymanych wyników nie należy odrzucić.
Gdy \(a_{2}=9\), to mamy ciąg \(27,9,3\), czyli mamy ciąg malejący
Gdy \(a_{2}=-9\), to mamy ciąg \(27,-9,3\), czyli ciąg niemonotoniczny

W treści zadania mamy podaną informację, że nasz ciąg musi być malejący, zatem drugi wyraz tego ciągu musi być równy \(a_{2}=9\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości ilorazu ciągu geometrycznego.
Znając przynajmniej dwa następujące po sobie wyrazy ciągu geometrycznego bez przeszkód obliczymy iloraz naszego ciągu.
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$ $$q=\frac{9}{27}$$ $$q=\frac{1}{3}$$

Gdybyśmy podeszli do zadania bez wykonywania obliczeń wartości drugiego wyrazu, to iloraz \(q\) moglibyśmy obliczyć korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ $$a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1}$$ $$a_{3}=a_{1}\cdot q^{2}$$ $$3=27\cdot q^{2}$$ $$q^{2}=\frac{1}{9}$$ $$q=\frac{1}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{3}$$

Ciąg ma być malejący, zatem musimy odrzucić \(q=-\frac{1}{3}\) (dla którego ciąg staje się niemonotoniczny). Zostaje nam więc \(q=\frac{1}{3}\).

Krok 3. Obliczenie wartości ósmego wyrazu.
Znamy wartość pierwszego wyrazu, znamy też wartość ilorazu tego ciągu, zatem bez przeszkód obliczymy wartość ósmego wyrazu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ $$a_{8}=a_{1}\cdot q^{8-1}$$ $$a_{8}=a_{1}\cdot q^7$$ $$a_{8}=27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^7$$

To potęgowanie i mnożenie przez \(27\) możemy obliczyć śmiało na kalkulatorze, ale prawdopodobnie potem będziemy mieć problem ze skróceniem ułamka. Dlatego też jeżeli dobrze opanowaliśmy działania na potęgach to warto to rozpisać nieco sprytniej:
$$a_{8}=3^3\cdot3^{-7}$$ $$a_{8}=3^{3+(-7)}$$ $$a_{8}=3^{-4}$$ $$a_{8}=\frac{1}{81}$$