📄 Treść zadania
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są:
• prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+5\)
• prosta \(l\) o równaniu \(y-1=-2x\)
Proste \(k\) i \(l\):
A
się pokrywają
B
nie mają punktów wspólnych
C
są prostopadłe
D
przecinają się pod kątem \(30°\)
Krok 1. Zapisanie równań w postaci kierunkowej.
Aby rozpocząć analizę tych dwóch prostych, musimy zapisać je w postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\). Pierwsza prosta \(k\) jest już zapisana w tej postaci, natomiast prostą \(l\) musimy przekształcić, zatem:
$$y-1=-2x$$
$$y=-2x+1$$
Krok 2. Ustalenie wzajemnego położenia prostych.
Widzimy, że prosta \(k\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{1}{2}\), natomiast prosta \(l\) ma ten współczynnik równy \(a=-2\). Iloczyn tych współczynników wynosi \(\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\), a to oznacza, że te dwie proste są względem siebie prostopadłe.