📄 Treść zadania
Równanie \(\dfrac{(x^2+x)(x+3)(x-1)}{x^2-1}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
A
jedno rozwiązanie: \(x=-3\)
B
dwa rozwiązania: \(x=-3, x=0\)
C
trzy rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0\)
D
cztery rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0, x=1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Jest to równanie wymierne, w którym mamy niewiadomą \(x\) w mianowniku. Wiedząc, że na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, musimy zapisać odpowiednie założenia, tak aby nasz mianownik nie był równy zero, zatem:
$$x^2-1\neq0$$
$$x^2\neq1$$
$$x\neq1 \quad\lor\quad x\neq-1$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Aby lewa strona była równa \(0\), to wartość przynajmniej jednego z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2+x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x(x+1)=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+1=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy aż cztery różne rozwiązania, ale wyniki \(x=-1\) oraz \(x=1\) musimy odrzucić ze względu na założenia. To oznacza, że nasze równanie ma tylko dwa rozwiązania i są to \(x=-3\) oraz \(x=0\).