Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Rozwiązywanie zadania musimy zacząć od przekształcenia zapisu nierówności. Po pierwsze, musimy przenieść \(\frac{3}{2}\) na lewą stronę (tak aby po prawej stronie zostało \(0\)). Po drugie, musimy wykonać potęgowanie zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x-1)^2\le\frac{3}{2}$$
$$(x-1)^2-\frac{3}{2}\le0$$
$$x^2-2x+1-\frac{3}{2}\le0$$
$$x^2-2x-\frac{1}{2}\le0 \quad\bigg/\cdot2$$
$$2x^2-4x-1\le0$$
Mnożenie obydwu stron przez \(2\) nie jest konieczne (na koniec uzyskamy te same wyniki), ale dzięki temu nie będziemy mieć już ułamków w dalszej części obliczeń.
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-4,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-1)=16-(-8)=24$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2\sqrt{6}}{2\cdot2}=\frac{4-2\sqrt{6}}{4}=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2\sqrt{6}}{2\cdot2}=\frac{4+2\sqrt{6}}{4}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Otrzymane miejsca zerowe zaznaczamy na osi liczbowej i przystępujemy do rysowania paraboli. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zera. Patrzymy się zatem co znajduje się pod osią lub na osi i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie przedział \(x\in\langle\frac{2-\sqrt{6}}{2};\frac{2+\sqrt{6}}{2}\rangle\)