📄 Treść zadania
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej \(n\) liczba \(4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}\) jest podzielna przez \(5\).
Aby udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(5\), musimy cały zapis do postaci w której będziemy mieć \(5\) pomnożone przez jakąś liczbę całkowitą. W tym celu trzeba przekształcić zapis wyłączając wspólne czynniki przed nawias np. w taki oto sposób:
$$4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}=$$
$$=4^{n}\cdot(4^1+1)-3^{n}\cdot(3^2+1)=$$
$$=4^{n}\cdot5-3^{n}\cdot10=$$
$$=5\cdot(4^{n}-3^{n}\cdot2)$$
Wiedząc, że \(n\) jest liczbą naturalną możemy być pewni, że zapis \(4^{n}-3^{n}\cdot2\) jest liczbą całkowitą. To oznacza, że podana liczba dzieli się przez \(5\), a wynikiem tego dzielenia będzie to, co znalazło się w nawiasie, czyli \(4^{n}-3^{n}\cdot2\).