📄 Treść zadania
W trójkącie przedstawionym na rysunku sinus kąta ostrego \(α\) jest równy:
A
\(\frac{1}{3}\)
B
\(3\)
C
\(\sqrt{10}\)
D
\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)
Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta.
Do obliczenia sinusa potrzebujemy poznać długość przeciwprostokątnej trójkąta, a poznamy ją korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2$$
$$2^2+6^2=c^2$$
$$4+36=c^2$$
$$c^2=40$$
$$c=\sqrt{40} \quad\lor\quad c=-\sqrt{40}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość przeciwprostokątnej jest dodatnia. To oznacza, że \(c=\sqrt{40}\), co po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka możemy jeszcze zapisać jako:
$$c=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$
Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.
Sinus odpowiada stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej, zatem:
$$sinα=\frac{2}{2\sqrt{10}}$$
$$sinα=2:2\sqrt{10}$$
$$sinα=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{10}}$$
$$sinα=\frac{1}{\sqrt{10}}$$
Nasz wynik jest już poprawny, ale aby dopasować się do odpowiedzi musimy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{10}\):
$$sinα=\frac{1\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}$$
$$sinα=\frac{\sqrt{10}}{10}$$